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1.6部高分纪录片，带孩子认识祖国有多美！（内附观影链接）

由于疫情的缘故，

我们暂时无法带孩子出门旅行，

去见识外面的世界。

今天我们为您精选6部高分纪录片，

让您足不出户，

带孩子领略祖国的大好河山、

体会历史风云的跌宕起伏。

我们还为您整理了观看链接，

快带孩子一起来看一看！

01 航拍中国

豆瓣评分9.2

我国有史以来规模最大、单集投资金额最高的航拍纪录片。整部纪录片计划拍 34 集，每集50分钟，共分5季推出，覆盖全国23个省、5个自治区、4个直辖市和2个特别行政区。每集都会选取一个省级行政区，展现最具代表性的历史、人文、自然和现代景观。

目前已推出了第1季和第2季，共13集。（包括新疆、海南、黑龙江、陕西、江西、上海、四川、浙江、甘肃、广东、内蒙古、福建、江苏共13个省市）

热情活力无时无刻不在奔腾、流淌的新疆↓

深邃神秘的西北大地↓

从江南到边塞，在航拍镜头下，

祖国壮美的山河，被一览无余。

这部纪录片是孩子认识祖国，学习地理及人文知识的绝佳教材，也非常适合全家一起观看，感觉就像一直行走在旅行的途中，随时都有惊喜的发现。

http://tv.cctv.com/2016/12/28/VIDALOmjxOZe51NjntPvOI00161228.shtml

02 河西走廊

豆瓣评分9.7

这部纪录片采用“情景再现”的形式，以电影化的拍摄手法，再现了从汉代至今两千多年河西走廊的历史和文化变迁。极佳的历史场景再现、悠扬苍凉的配乐、口齿生香的解说词，让这部纪录片在豆瓣上的评分接近满分。总体来看，这部纪录片不浮夸、不空洞，客观严谨之余，也不乏生动有趣，给孩子展现了真实的丝绸之路。

纪录片中，激励无数人的历史人物一个个活生生的展现在我们眼前：

张骞↓

霍去病↓

本片在“情景再现”之余，并没有经常出现以往纪录片中的采访专家，进入博物馆纪实等段落，而是通过大量史实解说，去完成一部以讲故事为主题的纪录片。

在某些现实中无法还原的地方，该片采用3D动画的方式，还原古代战场、遗址或者地图，将历史完整有序地展现在观众面前。

https://www.bilibili.com/bangumi/media/md20790

（腾讯视频和爱奇艺会员也可免费观看）

03 敦煌莫高窟：美之全貌

豆瓣评分9.2

日本NHK推出的纪录片《敦煌莫高窟：美之全貌》首次使用高清摄像机拍摄，详细讲述了30个最具特色的莫高窟洞窟，并以洞窟为线索，娓娓道来纵横千年的历史文化。

片中不仅展示了参观时无法窥探的细节，还讲述了很多历史、文化知识。

整部纪录片中，讲述彩塑的部分占比不少。

除了彩塑，壁画也是莫高窟的一大特色。所有壁画加起来有五万多平方米，规模之大令人惊叹。

几乎所有壁画中都有一个引人注目的元素——“飞天”。纪录片选取了321窟里的飞天们进行特写拍摄。

这些飞天身姿婀娜、千姿百态，目光跟随着移动的高清摄像机，宛如观赏一幅栩栩如生的天宫仙境。

https://www.iqiyi.com/v_19rui2lzc4.html

04 美丽中国

豆瓣评分9.2

这部纪录片是CCTV和BBC第一次联合摄制的作品，历时4年，使用了航拍、红外、高速、延时和水下等先进摄影技术。一共有6集，分别为《富饶华南》《彩云之南》《青藏高原》《长城以外》《龙之疆域》和《喧闹海岸》。

从灯火通明的大都市，到人烟稀少的深山老林；从广阔无垠的大草原，到人迹罕至的沙漠戈壁；从长年积雪的高海拨山区到一望无际的平原；从浩瀚大地到碧海蓝天……这里，是你我熟悉又陌生的美丽中国。

https://www.bilibili.com/bangumi/media/md498752/?from=search&seid=3713076413608868756

05 故宫100

豆瓣评分9.3

这部纪录片讲述一百座建筑的命运，一百座建筑中发生的不为人知的皇家故事。一百座建筑中有将近1/3比例的宫殿是平时不对外开放的，一般游客是无法进入参观的。比如皇家私密空间，比如皇室宗教场所。

全集共有100集，每集时长6分钟，展现了关于故宫的100个建筑细节。

相比其他讲述故宫的纪录片来说，这部纪录片更适合孩子看。

首先，6分钟是孩子容易集中注意力的时长，能保证知识的有效吸收。

例如，有一整集的篇幅都是介绍太和殿前的铜狮↓

例如，有一集专门介绍了日晷的作用和使用方法↓

而且，大量动画，尤其是3D动画的运用，能激发孩子的观看兴趣。同时，也能够更加细致、直观地展示某些复杂的建筑结构。

例如，角楼是紫禁城里最为复杂的建筑结构，在简单的动画形式下，就变得通俗易懂↓

http://tv.cntv.cn/video/VSET100154354483/bf9791eeddf04e8c9c1a0299b4535a21

06 第三极

豆瓣评分9.3

世界上除了南极和北极，还有第三极——青藏高原。这是首部全面反映青藏高原人与自然和谐相处的纪录片，是迄今为止投入成本最大的涉藏纪录片。全集共6集，每集46分钟，用近40个故事，向我们展示了青藏之美。

纯净的湖泊、圣洁的雪山、险峻的峡谷、广袤的草原……每一幅画面都让人动容。

http://jishi.cntv.cn/special/djsb/dsj/

家长朋友，

你还看过哪些优秀纪录片，

留言里分享给大家吧！

文章转载自微信公众号：中国教育报

设计：周子琪（实习）

编辑：周 丹

主编：吴海涛

2.“局部轨道高超音速轰炸系统”究竟有多厉害，为何美国如此惧怕？

2021年10月16日，一篇英国《金融时报》发表的文章在国际上掀起轩然大波！这篇文章声称中国于2021年8月进行了“一种具有核攻击能力的“局部轨道高超音速滑翔飞行器”的发射测试，如果这样的系统投入使用，将会产生巨大的影响”，并表示“美国政府对此事完全措手不及，并用“非常震惊”来表达对此事的看法！”

对于这篇报道的内容，中国政府予以了否认。中国外交部发言人赵立坚在10月18日的外交部例行新闻发布会上被问及此事时表示，“中国进行的只是一次例行的航天器试验，用于验证航天器重复使用技术”。同时他还表示，这次试验的时间是7月，并非外媒所说的8月。所以可以看出，外媒炒作的所谓“中国局部轨道高超音速轰炸系统”完全是捏造的！

不过这还是引起了网友们的很大兴趣，这种外媒口中的“局部轨道高超音速轰炸系统”究竟是何方神圣，竟能让美国等西方国家感到如此惧怕和震惊？今天我们就来详细解释一下。特别说明本文并非证实外媒的报道，只是从纯技术角度给大家做个科普，各位看官不要过度理解了。

首先我们要说说“局部轨道轰炸系统”是个什么玩意儿。“局部轨道轰炸系统”英文全称为“fractional orbital bombardment system”，简写为FOBS。这套系统是前苏联研发的一套洲际弹道导弹系统，该系统在前苏联第三代弹道导弹SS-9“悬崖”的技术上发展，将传统弹头部分更换为一个可在轨飞行并可以再入大气层的轰炸系统。

在使用时，该系统被像卫星一样发射进入离地300公里的轨道，在轨道上环绕地球半圈或大半圈，在合适的位置开启制动火箭减速进行再入大气层程序，让轰炸系统像返回式卫星那样砸向敌人的国土。特别强调一点是，这套系统在轨运行绝对不能是一个完整的绕地轨道，只能是半个或大半个轨道这样的局部在轨，如此这类武器就不属于在轨航天器的范畴。因此，这类系统也被称为“局部轨道轰炸系统”。

为什么不能是一个完整的绕地轨道？因为前苏联一早就签署了《和平利用外层空间条约》，这一条约规定所有在轨航天器都不能进行武器化，不能研发轨道武器，而对于在轨航天器的定义其中最重要的一条，就是必须完成起码一个完整的绕地轨道飞行。前苏联正是抓住这一点，开发了这种局部轨道武器，并且并不违反《和平利用外层空间条约》的相关规定。

前苏联当年研发“局部轨道轰炸系统”的目的，是为了绕开美国在本土北部建设的弹道导弹预警、侦察和防御体系，传闻其轨道从南极上空经过，从美国防御系统薄弱的南方发起导弹攻击。这种系统并不像传统弹道导弹那样采取可以推算的常规抛物线弹道，轰炸系统在轨期间可以通过变轨的方式调整攻击目标，美国完全无法事先探测和防御这种武器。

不过由于入轨需要更高的速度，并且需要安装额外的再入控制系统，“局部轨道轰炸系统”的有效载荷比弹道导弹要少一半以上，其携带的核弹头吨位非常低，实际使用的效果并不突出，在美国建成覆盖全国、包括南部地区的弹道导弹防御系统以后，这种武器其实已经没有存在的必要，最终于上世纪80年代全部撤装。美苏两国在十年后的上世纪90年代签署了《第二阶段限制战略武器条约》双边协议，其中明确规定双方都不能研发和部署这类局部轨道武器，从而将这类武器完全禁止。

那么所谓中国的这个“局部轨道高超音速轰炸系统”又是什么呢？根据外媒的描述，这套系统是在“局部轨道轰炸系统”技术基础上，将最终再入的部分改为一个采用高超音速飞行的飞行器。也许是中国在高超音速武器方面处于绝对的世界领先地位，因此国外媒体就见风就是雨的将这两种武器系统结合起来，为中国捏造了一个“局部轨道高超音速轰炸系统”了。

那么，如果这套系统真的存在，那将是怎样的呢？首先，这套系统将具备“局部轨道轰炸系统”的所有优点，可以灵活机动地对全球任何目标进行打击。其次，再入的高超音速部分，将以非常高的速度在大气层边缘进行“水漂式”滑翔飞行，即我们常说的“乘波体”飞行。这种滑翔飞行并不像普通的再入大气层那样呈规律的抛物线，而是利用大气密度不断弹跳，并可以利用其机动性进行大范围的机动飞行。

这两者组合在一起，使弹头不需要在目标区域上空进行再入，而可以在距离目标很远的地方开始再入，并不断通过滑翔体的机动，改变飞行方向，绕过所有可能的导弹防御系统(事实上现有的任何拦截导弹都无法追上这种飞行器)，或通过高速机动甩掉拦截导弹，最终击中目标。由于其飞行高度位于大气层边缘，受电离层黑障影响，地面上的雷达基本无法提前发现滑翔体，等到最终发现时，其超高的速度也不会给防御系统留下任何反应的时间了！

如果中国真的有这套系统，美国绝对会感到非常恐惧！因为这套系统会让美国花费几十年时间，耗费几十万亿美元建立的国家导弹防御系统完全成为摆设！这套系统可以在毫无预警的情况下对美国本土任何地方发动攻击，并且完全无法防御！事实上美国此前也完全没有得到“中国正在研发此类系统”的情报，因此才会表现出“相对震惊”！因为这意味着在处理对华关系问题上，美国将不再能够随意使用“核讹诈”的卑劣手段！

不过中国外交部的及时辟谣，说明这一切都是空穴来风。那么外媒如此密集和高调的炒作，意欲何为？笔者觉得原因可能有三：第一是美国正试图发展此类武器，为了掩人耳目并争取拨款，先倒打一耙污蔑中国已经搞出这类武器，所以美国是“被动”的应对，从而占据道德制高点。比如美国的X-37亚轨道飞行器，传闻就具备携带核弹的能力。第二是试图让中国背上违反《和平利用外层空间条约》的罪名，污蔑中国进行航天器武器化，不过这点真不值一驳，因为即便中国搞了，也是局部轨道武器，并不算违反条约。不过美国可以借此将中国拉入其和前苏联/俄罗斯之间的双边限制战略武器谈判，从而对中国正常的战略反击能力进行制约。第三是随着中国空间技术近年来的不断突破，美国在空间应用领域的领先地位岌岌可危，美国通过污蔑中国进行航天器武器化，对中国和平利用太空的正常科研活动进行各种限制和制裁，从而重新夺回其航天一把手的位置。

不管怎样，美国一定很快就将采取所谓的“应对措施”，到时候，明眼人一眼就能看出其中的端倪了！

3.长征五号火箭研制秘闻：火焰弥漫试车台，发动机几秒钟全部烧毁

近半年来长征5号遥三、长征5号B遥一两型火箭相继成功发射，使得我国近地轨道运力由上一代长征火箭的10吨级跃升至25吨，地球同步转移轨道运力由5.5吨跃升至14吨，进入空间能力成倍增长。

天宫空间站天和号核心舱、嫦娥五号月球采样飞船、一步实现火星绕落巡工程目标的天问一号飞船三大空间任务将在一年周期内分别由长征5号、长征5号B两型火箭接连发射升空。

​我们从没有像现在这样深切体会到“运载火箭运力有多大，航天舞台就有多大。”这句话的深刻内涵，而运载火箭要想获得更大运力就离不开一颗澎湃的动力心脏。

一、YF-100液氧煤油发动机：从四次试车四次失败到金牌动力的凤凰涅槃

长征5号、长征5号B是新一代无毒无污染大推力运载火箭的两个最强王者，但先声夺人的却是四年多前首飞的长征6号。

长征6号火箭最大直径3.35米、高29.287米、发射质量103吨、太阳同步轨道运力1吨，由“自行式火箭运输起竖车”完成转运，是一款典型的小型火箭，但它却拉开了新一代无毒无污染大推力运载火箭走上历史舞台的大幕，因为该型火箭肩负着一系列创新技术验证任务，尤其是该型火箭芯一级使用的YF-100型液氧煤油发动机。

在此之前长征系列火箭中应用的最大推力发动机是75吨级的YF-20系列偏二甲肼类燃料动力，与之对比YF-100不论是推力指标亦或者使用燃料都迎来了升级换代，该型发动机采用世界最先进的高压补燃循环系统，也被称为富氧预燃分级燃烧循环技术，目前掌握这一技术的国家全球只有两个。

YF-100选择液氧和煤油为氧化剂和燃料，燃烧过程中无毒无污染，对比上一代YF-20使用的四氧化二氮与偏二甲肼生产制备难度更低，同时成本也更低。

YF-100地面起飞推力120吨，真空推力则在130吨以上，比冲对比偏二甲肼类有毒燃料发动机也更高，且具备推力调节与重复使用能力，比如在试车台进行测试之后仍可用于实际任务发射，不再像此前YF-20系列发动机每测试一台都需要报废一台，从这里可以看出YF-100具备成为可重复使用运载火箭动力的所有条件。

YF-100型发动机是我国新一代运载火箭的最大推力发动机，目前已经配型长征6号、长征7号、长征5号、长征5号B、长征7号甲共五型运载火箭，即将到来的长征8号、长征6号甲也将使用YF-100，迄今为止该型发动机任务成功率高达100%。长征5号遥一、遥二、长征7号甲遥一都曾遭遇技术故障，但与YF-100都毫无关系。

YF-100发动机工作时最高温度可达3000摄氏度，压力更是有500个大气压，对发动机流量供应、材料、结构强度都提出了极为苛刻的要求，该型发动机研制过程中遇到的最大问题就是启动关，初期试车过程中在这个问题上YF-100曾跌过很大的跟斗。

早期一次试车过程中，点火指令刚一下达，发动机在几秒钟之内被全部烧毁，据航天科技六院长征五号副总设计师陈建华披露，我们当时到现场去看，非常令人惊心，因为这个发动机压力非常高，流量非常大，所以它的摧毁能力也非常强，当时出现这种问题以后，我们当时头都蒙了，无从着手。

YF-100初期整机四次试车，两次启动爆炸，两次燃气系统烧毁，弥漫在整个试车台的火焰使得研发团队备受打击，甚至对研发方向也产生了质疑，然而纵观世界航天史一个成熟的航天体系无不是从各种失败与爆炸中得到淬炼升华，何况我国航天在研制YF-100与新一代运载火箭之前实际上并没有完整的运载火箭研发体系。

上一代长征火箭都是在DF-5号导弹基础上敲敲打打，补课势在必行，之后经过长达1年的摸索之后大推力液氧煤油发动机启动关在2002年一次时长仅5秒的试车中得以彻底攻克，自此也扫清了该型发动机研制过程中的最大障碍。

二、YF-100换挡升级：减重增推泵后摆，助推载人登月工程创造历史

二级半构型的长征5号是我国航天最强高轨运载火箭，地球同步转移轨道运力14吨，同时能将8吨载荷直送月球轨道，也能将5吨载荷直送火星轨道，一级半构型的长征5号B则拥有大于22吨的近地轨道运力，两款最强王者火箭的起飞级构型完全一致，10台发动机可以提供1078吨总推力，而其中8台发动机都是YF-100，可见该型发动机在新一代运载火箭体系中的中流砥柱地位。

如今YF-100液氧煤油发动机也开始了新一轮换挡升级之旅，这一次它将使中国人的足迹现身月球。

航天科技六院正在以YF-100为蓝本研制YF-100K泵后摆液氧煤油发动机，泵后摆构型火箭发动机可以大大降低结构重量，同时可以缩小发动机上部结构尺寸，有利于实现多发并联设计，并以此为基础研发重型运载火箭。

YF-100K首次试车时间是2017年5月27日，经过数据监测显示，该型发动机重量大幅度降低后推力不仅没有下降反而从120吨增长至125吨，最新消息披露今年3月份YF-100K又进行了一次长程热试车。

三、高手在民间：民营航天朱雀二号火箭助力载人登月，验证关键技术

近一个月来航天领域可谓是捷报频传，除却本月上旬长征5号B遥一火箭与新一代载人飞船试验船双双告捷，还有两家民营航天公司接连实现液氧甲烷发动机的重大突破。

蓝箭航天80吨级天鹊-12液氧甲烷发动机泵后摆试车宣告成功，星际荣耀焦点一号液氧甲烷发动机成功进行二次点火500秒长程热试车，成为全球第一款具备二次点火能力的液氧甲烷发动机。

配型天鹊-12液氧甲烷发动机的朱雀二号火箭预计将于一年之后首飞，为什么民营航天进展可以如此迅速？

这与国家的强力支持密不可分，天鹊-12液氧甲烷发动机的泵后摆机电伺服系统就是航天科工下属企业负责供应，朱雀二号运载火箭将成为全球第一款入轨级液氧甲烷燃料火箭（比马斯克的星舰更早入轨），而这款火箭使用的正是长征二号系列火箭构型，后者则是以DF-5号导弹为蓝本设计，密级如此之高的高科技装备如果没有官方支持与许可是难以想象的，星际荣耀公司的发动机试车台更是直接改造航天科技六院的资产而来。

蓝箭航天朱雀二号运载火箭除了将成为全球第一款液氧甲烷燃料入轨火箭，同时也将成为我国第一款应用泵后摆发动机技术的火箭产品，朱雀二号可以发挥与长征六号相似的验证作用，后者验证YF-100液氧煤油发动机推力综合指标数据，前者可以验证YF-100K泵后摆多发并联方案，为航天科技一院的921重型火箭提供技术借鉴。

嫦娥探月总师吴伟仁去年年初曾公开表示，未来十年左右，月球南极将出现中国主导、多国参与的月球科研站，月球上将留下中国人的足迹，我国将迈入世界航天强国前列。

本月上旬作为载人登月先导工程的新一代载人飞船试验船返回舱成功抵御近第二宇宙速度再入大气热流烧蚀，精准着陆于内蒙古东风着陆场，标志着我国载人登月工程已经迈出实质性的第一步。

重达21.6吨的新一代载人飞船最终目标是要进入环月轨道，而这一重量已经超出长征五号的8吨级月球轨道运力，因此要想执行载人登月任务就必然需要重型运载火箭。

根据吴伟仁载人登月需求描述，我们需要在2029年左右具备载人登月能力，这意味着重型火箭必须在2025年左右首飞，我国现阶段正在推进的重型运载火箭有两款，一款是新一代载人火箭，另一款就是长征9号。

长征9号计划首飞时间是2030年，显然无法满足2029年载人登月需求，如此一来希望就寄托在新一代载人火箭身上。

新一代载人火箭也被称为921重型火箭，该型火箭采用世界先进的三级半CBC通用芯级构型，可以将大于25吨载荷送入月球轨道，只需发射两枚即可满足载人登月需求，起飞级与芯二级动力皆由YF-100K发动机形成多发并联方案。

四、弯道超车伪命题？强大国力才是真的香，中国航天用行动说话

回顾YF-100发动机研发历程，从立项至验收前后用时将近十二年，那么YF-100K需要多长时间？

根据央视最新披露画面可知，YF-100K首次试车时间是2017年5月，截至目前已经进行过多次长程热试车。

朱雀二号火箭天鹊-12液氧甲烷发动机泵后摆任务验证可以为YF-100K配型921重型火箭奠定技术基础，YF-100K又是基于成熟型号的改进型，加上大幅度跃升的综合国力，现如今我们掌握的包括人力、财力在内的各类资源更是21世纪初期的数倍不止，综合上述优势YF-100K泵后摆发动机完全有能力在二三年内具备飞行条件。

以长征5号、长征5号B、新飞船为代表的尖端装备研发成功，标志着我们已经进入世界航天先进前列，当我们有能力有条件的时候不去做一些伟大事业，用叶培建院士的话说，后人是要怪我们的。

中国航天作为世界航天第一梯队的后来者习惯了低调行事，也导致很多国人难以建立针对我国航天的客观认知，容易形成两极分化，要么认为很强，要么认为很渣。

我们不需要妄自菲薄也不需要骄傲自大，拥有最快的发展加速度正是中国航天的全新面貌，也正因为这个加速度的存在才让我们这一代人可以见证更多由中国航天创造的人类奇迹。

4.你的逻辑真的可靠吗？

科学无国界

我们是知识的搬运工

福利时间

今天我们将送出由未读·探索家提供的优质科普书籍《登月使命：AR实境体验人类首次登月全过程》。

全景复原“人类的一大步”，满足你对登月的全部想象！

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只要你认真阅读下面的这篇文章，思考文末提出的问题，严格按照 互动：你的答案 格式在评论区留言，就有机会获得奖品！

作者：Kona Macphee

翻译：Nothing

审校：Nuor

什么是证明？哲学家已经就这个问题以及一件事如何才算被证明争论了多个世纪。毫无疑问，他们还将继续争论下去！另一方面，数学家长期以来使用“暂定的定义（working definitions）”来推动数学的进步。

以这个问题为开端，PASS Maths 已经发表了一系列文章来介绍证明和逻辑推理背后的基本思想以及它们在数学中的重要性。在这篇文章中，我们将对演绎推理进行简单介绍并且考察一下已知最早的数学证明之一。

演绎推理

给定一组已知或者被假定为真的命题，演绎推理是扩展这些命题的强有力的方法。在演绎推理中，我们认为如果前提P是已知或被假定为真的，那么我们可以得到结论C。例如，给定以下一些前提：

P：所有人都会死。

P：苏格拉底（Socrates）是人。

利用演绎推理，结论是：

C：苏格拉底会死。

在这个例子中，推理的原则是如果A蕴含B，且A为真，那么B也为真，中世纪哲学家称之为假言推理（modus ponens）。当然，演绎推理不是无懈可击的：推理的前提可能是错误的，推理的过程也可能是错误的！这就是为什么你有时候会做出错误的证明。例如，有多种方法可以证明1=2。下面是其中一个例子：

令a = b

有：

整理得：

两边同时除以得：

证毕。

你能指出证明中的漏洞吗？

如果结论无法从前提中得出，那么论证就是无效的，即便前提是正确的，我们也无法判断结论的真假。

如果论证是有效的但前提是错误的，那么我们同样无法判断命题真假，推理无法帮我们做出判断。

如果论证是有效的且前提是正确的，我们认为论证是可靠的且结论是正确的。从实用主义的观点来看，如果我们可以找到一个可靠的论证，我们就能认为证明了某件事。

以下表1给出了几种论证的形式， 表2给出了具体的例子：

表1 不同类型的演绎推理

P不能推出C

P能推出C

P为假

无效

有效、不可靠

P为真

无效

有效、可靠

表2 一些演绎论点的例子

无效、错误前提

P：鱼是哺乳动物。

P: 鱼是温血动物。

C：哺乳动物是温血动物。

有效、不可靠

P: 哺乳动物是冷血动物。

P: 人是哺乳动物。

C：人是冷血动物。

无效、正确前提

P：鱼是冷血动物。

P：人类不是鱼。

C: 人类是温血动物。

有效、可靠

P: 人是温血动物。

P: 渔民是人。

C：渔民是温血动物。

在表格中，两个无效的论证不代表结论一定错误，只是无法从论证中得到判断。

开端：欧几里得几何

欧几里得出生在大约公元前365年的埃及亚历山大港，于约公元前300年去世。除了他在亚历山大港教授数学外，我们对他的生平知之甚少。欧几里得书写了大量著作，但是最有名的是他的《几何原本》，这是一本关于几何的著作并被当作教科书使用了超过2000年！这本书中的内容并不是欧几里得的原创，而是对当时的几何知识的总结。但是它们包含了数学史上最早的证明之一。

在《几何原本》中，欧几里得从描述点、线、平面、圆、钝角、锐角等的23条定义开始展开。欧几里得的定义既不正确也不错误，它们只是像字典一样解释着他要用到的术语的含义。然后他又写下了数条假设。其中五条并不限于几何，他称之为公理：

1、和同一个量相等的两个量也相等。

2、等量加等量，其和相等。

3、等量减等量，其差相等。

4、 彼此能够重合的几何图形是全等的。

5、整体大于部分。

剩下五条假设和几何相关，他称之为公设：

1、两点可以决定一条直线。

2、直线可以沿其正反两个方向无限延长。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、凡直角都相等。

5、同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在这条直线同侧的两个内角之和小于180°，则另外两条直线一定相交。

这十条内容合在一起共同构成了欧氏几何的公理系统。公理指的是被假定为正确的逻辑原则，它无需被证明是正确的，它可以作为演绎推理的前提。

欧几里得的公理系统是利用演绎推理推导出其他内容的“第一性原理”。当然，所有的演绎论证只有在欧几里得公理和公设是正确时才是可靠的。

命题和证明

欧几里得在《几何原本》推导出大量几何命题并且用演绎推理展示了它们在他的公理体系内是正确的。

一个例子是命题6：“如果三角形中两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”

欧几里得的证明方法如下：

Figure 1: 命题6

“做三角形ABC且∠ABC等于∠ACB；那么边AB等于AC。假如AB不等于AC，其中一个会长于另一个。假设AB比较长；从AB中切下和AC等长的BD；连接DC。因为DB等于AC，而BC是公用的，DB等于AC，BC等于CB，且∠DBC等于∠ACB。

因此，DC等于AB，所以三角形DBC全等于三角形ACB，显然它们两个不一样大，因此出现了矛盾。所以只能是AB等于AC。“

欧几里得的公设是对的吗？

所有欧几里得时期的希腊人和后来的阿拉伯数学家都直觉的认为第五条公设实际上可以由五条公理和前四条公设推导出来。

许多人试图证明第五条公设，通常一个公认的证明在被证明有错之前会被长期接受。一般的，有瑕疵的证明会包含“循环论证”：不管怎样，他们先假定第五条公设是正确的来证明它是正确的

事实上，第五条公设无论对错，它都无法从其他公设和公理中推导出来。数学家长期着迷于第五条公设，但是直到十九和二十世纪我们才知道了第五条公设不成立的几何（非欧几何）。

在欧氏几何中，第五公设是对的。但是，在其他许多类型的几何中它是不对的。这是显而易见的，只要考虑球面上的几何就能看到。

在球面内是无法画一条真正的直线的，因此在球面几何中欧几里得关于线的想法变成了大圆。可以思考一下地球上的情形，经线都是一个大圆，赤道也是。事实上，球面上两点之间距离最短的路径就是这样一个大圆。

欧几里得前四条公设的一个推论是两条不同的直线相交，只能交于一点。在圆上，这个说法也有问题，因为不同的大圆总是交于两点！两条不同的经线都经过南极和北极！

但是请你记住，我们还没有说欧氏几何中的点在球面上对应什么！我们如果把相互对跖的两个点定义为球面上的一个点，问题就消失了。

根据欧几里得的第23个定义，“平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。”

按照这个定义，很容易看出欧几里得的前四条公设仍然成立。但是第五条公设失效，因为无法画出两条不相交的线。球面几何中没有平行线。

第五条公设失效的结果就是在球面上三角形内角和不再总是180度。事实上，有一个思维难题和非欧几何有关：

猎人离开家朝南走了一英里。然后朝西走了一英里并且射杀了一头熊，最后朝北走了一英里返回家里。问熊是什么颜色？

欧几里得和演绎推理

关于欧氏几何的故事以及后来对非欧几何的发现，说明了利用公理进行演绎推理的好处和缺点。

利用定义、公理和公设作为一个系统。欧几里得可以通过演绎推理得到大量的几何命题，他的公理和证明在数个世纪中成为数学家们有用的工具，并且展示了演绎推理的威力。

然而，发现非欧几何漫长又痛苦的过程展示了演绎推理的局限性：公理系统中的所有证明都不能超出公理系统自身。在欧氏平面中，欧几里得第五公设是对的，他的证明既有效又可靠。然而在非欧几何中，例如球面几何，第五公设就是错的，因此欧几里得的证明是不可靠的。

原文来源：

https://plus.maths.org/content/origins-proof#Appendix

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编辑：loulou